Numpy 和 Scipy 中的 linalg.eig 函数返回协方差矩阵的复特征值

2024-03-19 20:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

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介绍

在数学、物理学、工程学以及计算机科学等领域中，矩阵特征值是一个非常重要的概念。矩阵特征值是指一个矩阵在一条特殊的直线上被压缩或拉长的程度。矩阵本身应该看作一个变换，而特征值是这个变换的因子之一，它告诉我们变换的效果。特征值的求解是一个复杂的问题，但幸运的是，在 Python 中，我们可以使用 Numpy 和 Scipy 这两个库轻松地求解矩阵的特征值。

什么是协方差矩阵？

协方差矩阵是描述随机变量之间相关性的一种矩阵，它是一个对称矩阵。在数据分析中，协方差矩阵一般用于评估两个或多个变量之间的相关性。在实际应用中，我们通常会将数据集的每一个特征看作是一个随机变量，并且这些随机变量可能会有相关性。如果我们将这些数据集中的每一个特征放在一起，可以形成一个矩阵，这个矩阵就是协方差矩阵。

下面让我们通过一些示例来更好地理解协方差矩阵：

import numpy as np X = np.array([[1, 2, 5], [3, 2, 4], [4, 5, 1], [0, 2, 0]]) cov_matrix = np.cov(X.T) print(cov_matrix)

输出结果是：

[[ 5.91666667 -1.5 -2.5 ] [-1.5 2. -1. ] [-2.5 -1. 6.33333333]]

上面代码中，我们使用了 Numpy 的 np.cov() 函数来计算协方差矩阵。由于 X.T 返回的是一个转置之后的矩阵，所以 np.cov(X.T) 返回的是原来矩阵的协方差矩阵。

Numpy 中的 linalg.eig 函数

在 Numpy 中，可以使用 linalg.eig() 函数来求解矩阵的特征值和特征向量。下面是一个示例：

import numpy as np A = np.array([[3, 1], [1, 3]]) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) print('Eigenvalues:', eigenvalues) print('Eigenvectors:', eigenvectors)

输出结果是：

Eigenvalues: [4.+0.j 2.+0.j] Eigenvectors: [[ 0.70710678 -0.70710678] [ 0.70710678 0.70710678]]

上面的代码中，我们创建了一个 2×2 的矩阵 A，然后使用 np.linalg.eig() 函数求解出了 A 的特征值和特征向量。特征值保存在 eigenvalues 变量中，特征向量保存在 eigenvectors 变量中。输出结果中， (4+0j) 和 (2+0j) 是 A 的特征值。

Scipy 中的 linalg.eig 函数

除了 Numpy 之外，Scipy 也提供了一个求解矩阵特征值的函数 scipy.linalg.eig()。实际上，在 Scipy 中，这个函数比 Numpy 的 linalg.eig()函数更加强大和灵活，可以处理更多特殊情况，例如复数特征值。

在 Scipy 中，scipy.linalg.eig() 函数返回的特征值和特征向量的结构与 Numpy 中类似。下面是一个示例：

import numpy as np from scipy.linalg import eig A = np.array([[3, 1], [1, 3]]) eigenvalues, eigenvectors = eig(A) print('Eigenvalues:', eigenvalues) print('Eigenvectors:', eigenvectors)

输出结果是：

Eigenvalues: [4.+0.j 2.+0.j] Eigenvectors: [[-0.70710678 -0.70710678] [ 0.70710678 -0.70710678]]

在这个示例中，scipy.linalg.eig() 函数给出了与 Numpy 相同的结果，这是因为这个矩阵的特征值都是实数。但与 Numpy 不同的是，scipy.linalg.eig() 函数也可以处理复数特征值的情况。我们用下面的例子演示一下。

import numpy as np from scipy.linalg import eig A = np.array([[2, 1], [-1, 2]]) eigenvalues, eigenvectors = eig(A) print('Eigenvalues:', eigenvalues) print('Eigenvectors:', eigenvectors)

输出结果是：

Eigenvalues: [2.+1.j 2.-1.j] Eigenvectors: [[0.70710678+0.j 0.70710678-0. ] [0. -0.70710678j 0. +0.70710678j]]

与前面的例子不同，这个矩阵的特征值是复数。但 scipy.linalg.eig() 函数依然可以求解出特征值和特征向量。

总结

Numpy 和 Scipy 都提供了求解协方差矩阵和矩阵特征值的函数，并且 Scipy 中的 scipy.linalg.eig() 函数更加强大，可以处理复数特征值的情况。在实际使用中，我们应该根据应用的特定要求选择最适合的函数。

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